n के पर्याप्त बड़े मान के लिए,प्रथम n धनात्मक | vedclass

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Question

(B) बड़े $n$ के लिए योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}$ ज्ञात करने के लिए,हम निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग रीमान योग की सीमा के रूप में कर सकते है

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{3} n^{\frac{3}{2}}$

Vedclass · Answer

(B) बड़े $n$ के लिए योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}$ ज्ञात करने के लिए,हम निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग रीमान योग की सीमा के रूप में कर सकते हैं। हम योग को इस प्रकार लिखते हैं: $S_n = n \sqrt{n} \left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k}{n}} ight)$ जैसे-जैसे $n 	o \infty$,कोष्ठक में दिया गया पद निश्चित समाकल की ओर अग्रसर होता है: $\lim_{n 	o \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k}{n}} = \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx$ समाकल का मान ज्ञात करने पर: $\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} ight]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$ अतः,बड़े $n$ के लिए: $S_n \approx n \sqrt{n} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} n^{\frac{3}{2}}$

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left\{ \sec ^{2} \frac{\pi}{4 n} + \sec ^{2} \frac{2 \pi}{4 n} + \ldots + \sec ^{2} \frac{n \pi}{4 n} \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-2^2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-(n-1)^2}}\right)$ का मान किसके बराबर है?

$\operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{\pi}{2}\right]=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + {2^4} + {3^4} + .... + {n^4}}}{{{n^5}}} - \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + {2^3} + {3^3} + .... + {n^3}}}{{{n^5}}} = $

$\lim _{n \rightarrow \infty} n^4\left[\frac{1}{n^5}+\frac{1}{\left(n^2+1\right)^{\frac{5}{2}}}+\frac{1}{\left(n^2+4\right)^{\frac{5}{2}}}+\frac{1}{\left(n^2+9\right)^{\frac{5}{2}}}+\ldots+\right]=$

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