यदि f(a + b - x) = f(x) है,तो int_{a}^{b} x f | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{a}^{b} x f(x) dx$  --- $(1)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} g(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{a}^{b} (a+b-x) f

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$\frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) dx$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_{a}^{b} x f(x) dx$  --- $(1)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} g(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{a}^{b} (a+b-x) f(a+b-x) dx$चूंकि $f(a+b-x) = f(x)$,समाकलन इस प्रकार होगा:$I = \int_{a}^{b} (a+b-x) f(x) dx$समाकलन का विस्तार करने पर:$I = (a+b) \int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{a}^{b} x f(x) dx$समीकरण $(1)$ से $I$ का मान रखने पर:$I = (a+b) \int_{a}^{b} f(x) dx - I$दोनों पक्षों में $I$ जोड़ने पर:$2I = (a+b) \int_{a}^{b} f(x) dx$$2$ से भाग देने पर:$I = \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) dx$अतः,सही विकल्प $C$ है.

यदि $f(a + b - x) = f(x)$ है,तो $\int_{a}^{b} x f(x) dx$ किसके बराबर है?

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यदि $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 0$ है,तो

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