यदि M = begin{bmatrix} frac{5}{2} & frac{3}{2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $M = \begin{bmatrix} \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \ -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$.हम $M$ को $M = I + \frac{3}{2} A$ के रूप

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$\begin{bmatrix} 3034 & 3033 \ -3033 & -3032 \end{bmatrix}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $M = \begin{bmatrix} \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \ -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$.हम $M$ को $M = I + \frac{3}{2} A$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ -1 & -1 \end{bmatrix}$ है।सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-1 & 1-1 \ -1+1 & -1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.चूँकि $A^2 = O$,हम $(I + \frac{3}{2} A)^n$ के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग कर सकते हैं:$M^n = (I + \frac{3}{2} A)^n = I^n + n(I^{n-1})(\frac{3}{2} A) + \frac{n(n-1)}{2} I^{n-2} (\frac{3}{2} A)^2 + \dots$चूँकि $A^2 = O$,$A^k$ (जहाँ $k \ge 2$) वाले सभी पद शून्य हो जाएंगे।अतः,$M^n = I + n \cdot \frac{3}{2} A$.$n = 2022$ के लिए:$M^{2022} = I + 2022 \cdot \frac{3}{2} A = I + 3033 A$.$M^{2022} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} + 3033 \begin{bmatrix} 1 & 1 \ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+3033 & 0+3033 \ 0-3033 & 1-3033 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3034 & 3033 \ -3033 & -3032 \end{bmatrix}$.

यदि $M = \begin{bmatrix} \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा आव्यूह $M^{2022}$ के बराबर है?

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यदि $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ है,तो ${A^2} = $

यदि $A = \begin{bmatrix} 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ है,तो सत्यापित कीजिए कि $(kB)^{\prime} = kB^{\prime}$,जहाँ $k$ कोई अचर है।

यदि $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ और $A^2 + xA + yI_2 = O_2$ है, जहाँ $I_2$ और $O_2$ क्रमशः $2$ कोटि के तत्समक आव्यूह और शून्य आव्यूह हैं, तो:

आव्यूह $X$ और $Y$ के लिए,यदि $X+Y = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$ और $X-Y = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ है,तो $2X =$ . . . . . .

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