જો $\left| \begin{array}{ccc} x + 1 & x + 2 & x + 3 \\ x + 2 & x + 3 & x + 4 \\ x + a & x + b & x + c \end{array} \right| = 0$ હોય,તો $a, b, c$ એ શેમાં છે?

જો $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \cos \theta & 1 \\ -\cos \theta & 1 & \cos \theta \\ -1 & -\cos \theta & 1 \end{vmatrix}$ હોય,તો $\Delta$ કયા અંતરાલમાં આવે છે?

ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ ના વાસ્તવિક બીજ છે,જ્યાં $a, b, c \in R$ અને $a, b \neq 0$. જો $u, v, w$ માં આપેલ સમીકરણોની સંહતિ $\alpha u + \beta v + \gamma w = 0$,$\beta u + \gamma v + \alpha w = 0$,અને $\gamma u + \alpha v + \beta w = 0$ ને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય,તો $\frac{a^{2}}{b}$ ની કિંમત શોધો.

જો સમીકરણોની સિસ્ટમ $x - ky - z = 0$,$kx - y - z = 0$ અને $x + y - z = 0$ નો શૂન્યતર ઉકેલ હોય,તો $k$ ની શક્ય કિંમતો કઈ છે?

$\lambda$ ના એવા ભિન્ન મૂલ્યોનો સરવાળો શોધો જેના માટે સમીકરણ સંહતિ
$(\lambda-1) x+(3 \lambda+1) y+2 \lambda z=0$
$(\lambda-1) x+(4 \lambda-2) y+(\lambda+3) z=0$
$2 x+(3 \lambda+1) y+3(\lambda-1) z=0$
શૂન્યતર ઉકેલો ધરાવે છે.

જો $x, y, z$ એ સામાન્ય તફાવત $d$ સાથે સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,$x \neq 3d$,અને શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 3 & 4\sqrt{2} & x \\ 4 & 5\sqrt{2} & y \\ 5 & k & z \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,તો $k^2$ ની કિંમત ..... છે.