यदि a^2, b^2, c^2 A.P. में हैं,तो निम्नलिखित | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $a^2, b^2, c^2$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b^2 = a^2 + c^2$ है।ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,

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$\cot A, \cot B, \cot C$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $a^2, b^2, c^2$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b^2 = a^2 + c^2$ है।ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।इन मानों को $A.P.$ की शर्त में रखने पर: $2(2R \sin B)^2 = (2R \sin A)^2 + (2R \sin C)^2$।यह सरल होकर $2 \sin^2 B = \sin^2 A + \sin^2 C$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\sin^2 B - \sin^2 A = \sin^2 C - \sin^2 B$।सर्वसमिका $\sin^2 x - \sin^2 y = \sin(x+y)\sin(x-y)$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin(B+A)\sin(B-A) = \sin(C+B)\sin(C-B)$ प्राप्त होता है।चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\sin(B+A) = \sin C$ और $\sin(C+B) = \sin A$ है।अतः,$\sin C \sin(B-A) = \sin A \sin(C-B)$।इसका विस्तार करने पर,$\sin C(\sin B \cos A - \cos B \sin A) = \sin A(\sin C \cos B - \cos C \sin B)$।दोनों पक्षों को $\sin A \sin B \sin C$ से विभाजित करने पर,हमें $\cot A - \cot B = \cot B - \cot C$ प्राप्त होता है।इसलिए,$\cot A, \cot B, \cot C$ $A.P.$ में हैं।

यदि $a^2, b^2, c^2$ $A.P.$ में हैं,तो निम्नलिखित में से कौन से भी $A.P.$ में हैं?

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