यदि y=f(x) एक तीन बार अवकलनीय फलन और एकैकी-आच | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $y=f(x)$ एक अवकलनीय और एकैकी-आच्छादक फलन है। हम जानते हैं कि $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{\frac{d y}{d x}} = \left(\frac{d y}{d x}\r

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(D) दिया गया है कि $y=f(x)$ एक अवकलनीय और एकैकी-आच्छादक फलन है। हम जानते हैं कि $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{\frac{d y}{d x}} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1}$. दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d^2 x}{d y^2} = \frac{d}{d y} \left[ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1} \right]$. श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर: $\frac{d^2 x}{d y^2} = \frac{d}{d x} \left[ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1} \right] \cdot \frac{d x}{d y}$. $\frac{d^2 x}{d y^2} = -\left(\frac{d y}{d x}\right)^{-2} \cdot \frac{d^2 y}{d x^2} \cdot \frac{1}{\frac{d y}{d x}}$. $\frac{d^2 x}{d y^2} = -\frac{\frac{d^2 y}{d x^2}}{\left(\frac{d y}{d x}\right)^3}$. दोनों पक्षों को $\left(\frac{d y}{d x}\right)^3$ से गुणा करने पर: $\frac{d^2 x}{d y^2} \cdot \left(\frac{d y}{d x}\right)^3 = -\frac{d^2 y}{d x^2}$. अतः,$\frac{d^2 x}{d y^2} \left(\frac{d y}{d x}\right)^3 + \frac{d^2 y}{d x^2} = 0$.

यदि $y=f(x)$ एक तीन बार अवकलनीय फलन और एकैकी-आच्छादक (bijection) फलन है,तो $\frac{d^2 x}{d y^2}\left(\frac{d y}{d x}\right)^3+\frac{d^2 y}{d x^2}=$

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