यदि alpha मूल बिंदु और रेखाओं x^2-y^2-x+3y-2= | vedclass

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Question

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2-y^2-x+3y-2=0$ है। गुणनखंड करने पर,$(x-y+1)(x+y-2)=0$ प्राप्त होता है। अतः,रेखाएँ $L_1: x-y+1=0$ और $L_2: x

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$\frac{5}{2}$

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(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^2-y^2-x+3y-2=0$ है। गुणनखंड करने पर,$(x-y+1)(x+y-2)=0$ प्राप्त होता है। अतः,रेखाएँ $L_1: x-y+1=0$ और $L_2: x+y-2=0$ हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ ज्ञात करने के लिए: समीकरणों को जोड़ने पर: $(x-y+1) + (x+y-2) = 2x-1=0 \implies x=\frac{1}{2}$. $x=\frac{1}{2}$ को $x+y-2=0$ में रखने पर,$y=\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है। अतः,$P = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$. $\alpha$ मूल बिंदु $(0,0)$ से $P$ तक की दूरी का वर्ग है: $\alpha = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$. $\beta$ मूल बिंदु से $L_1$ और $L_2$ पर लंबवत दूरियों का गुणनफल है: $d_1 = \frac{|0-0+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $d_2 = \frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. $\beta = d_1 	imes d_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} 	imes \sqrt{2} = 1$. इसलिए,$\alpha \beta = \frac{5}{2} 	imes 1 = \frac{5}{2}$.

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