यदि f: Z rightarrow Z, f(x) = begin{cases} fr | vedclass

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Question

(A) दिया गया है, $f: Z ightarrow Z$, $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & 	ext{यदि } x 	ext{ सम है} \ 0, & 	ext{यदि } x 	ext{ विषम है} \end{cas

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आच्छादक (onto) है लेकिन एकैकी (one-to-one) नहीं

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है, $f: Z ightarrow Z$, $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & 	ext{यदि } x 	ext{ सम है} \ 0, & 	ext{यदि } x 	ext{ विषम है} \end{cases}$.$f$ के एकैकी होने के लिए, $f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ होना चाहिए।मान लीजिए $x_1 = 1$ और $x_2 = 3$। दोनों विषम हैं, इसलिए $f(1) = 0$ और $f(3) = 0$।चूंकि $f(1) = f(3)$ है लेकिन $1 
eq 3$, इसलिए $f$ एकैकी नहीं है।$f$ के आच्छादक होने के लिए, परिसर (range) सह-प्रांत (codomain) $Z$ के बराबर होना चाहिए।यदि $x$ सम है, तो $x = 2k$ लें जहाँ $k \in Z$। तब $f(2k) = \frac{2k}{2} = k$।चूंकि $k$, $Z$ में कोई भी पूर्णांक हो सकता है, इसलिए $f$ का परिसर $Z$ है।अतः, $f$ आच्छादक है।इसलिए, $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

यदि $f: Z \rightarrow Z$, $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & \text{यदि } x \text{ सम है} \\ 0, & \text{यदि } x \text{ विषम है} \end{cases}$, तो $f$ है

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फलन $f: Z \rightarrow Z$ के लिए $f(x) = x^{2}$ द्वारा परिभाषित फलन की एकैकी (injectivity) और आच्छादक (surjectivity) की जाँच कीजिए।

मान लीजिए $A=\{1,2,3\}, \,B=\{4,5,6,7\}$ और $f=\{(1,4),\,(2,5),\,(3,6)\}$ एक फलन है जो $A$ से $B$ में परिभाषित है। दर्शाइए कि $f$ एकैकी (one-one) है।

मान लीजिए कि एक फलन $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(n) = \begin{cases} 2n, & n = 2, 4, 6, 8, \dots \\ n-1, & n = 3, 7, 11, 15, \dots \\ \frac{n+1}{2}, & n = 1, 5, 9, 13, \dots \end{cases}$
तो,$f$ है

फलन $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ जो $f(x) = x^2 + x$ द्वारा परिभाषित है,वह है:

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