यदि f एक वास्तविक मान वाला अवकलनीय फलन है, जै | vedclass

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Question

(D) दिया गया है, $f(x) f^{\prime}(x) < 0$। इसका तात्पर्य यह है कि सभी $x \in R$ के लिए $f(x)$ और $f^{\prime}(x)$ के चिह्न विपरीत हैं। फलन $g(x) = |f(x

Vedclass · Accepted Answer

$|f(x)|$ एक ह्रासमान फलन होना चाहिए

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है, $f(x) f^{\prime}(x) फलन $g(x) = |f(x)|$ पर विचार करें। तब $g(x)^2 = |f(x)|^2 = f(x)^2$। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $2g(x) g^{\prime}(x) = 2f(x) f^{\prime}(x)$ प्राप्त होता है। अतः, $g^{\prime}(x) = \frac{f(x) f^{\prime}(x)}{g(x)} = \frac{f(x) f^{\prime}(x)}{|f(x)|}$। चूंकि $f(x) f^{\prime}(x)  0$ है, इसलिए $g^{\prime}(x) अतः, $|f(x)|$ एक ह्रासमान फलन है।

यदि $f$ एक वास्तविक मान वाला अवकलनीय फलन है, जैसे कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x) f^{\prime}(x) < 0$ है, तो

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