यदि y = x^{sqrt{x}} है,तो frac{dy}{dx} = | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $y = x^{\sqrt{x}}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln y = \ln(x^{\sqrt{x}})$.$\ln(a^b) = b \ln a$ गुणध

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$x^{\sqrt{x}} \left( \frac{2 + \log x}{2\sqrt{x}} \right)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $y = x^{\sqrt{x}}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln y = \ln(x^{\sqrt{x}})$.$\ln(a^b) = b \ln a$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\ln y = \sqrt{x} \ln x$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) \cdot \ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$.$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}$.चूंकि $\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$,इसलिए $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$.पदों को संयोजित करने के लिए,$\frac{1}{\sqrt{x}}$ को $\frac{2}{2\sqrt{x}}$ के रूप में लिखने पर:$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$.अतः,$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{2 + \ln x}{2\sqrt{x}} \right) = x^{\sqrt{x}} \left( \frac{2 + \ln x}{2\sqrt{x}} \right)$.

यदि $y = x^{\sqrt{x}}$ है,तो $\frac{dy}{dx} = $

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