यदि C_r = ^{100}C_r है,तो 1 cdot C_0^2 - 2 cd | vedclass

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Question

(B) माना $S = 1 \cdot C_0^2 - 2 \cdot C_1^2 + 3 \cdot C_2^2 - 4 \cdot C_3^2 + \dots + 101 \cdot C_{100}^2$ है। गुणधर्म $C_r = C_{n-r}$ का उपयोग करते ह

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$51 \cdot ^{100}C_{50}$

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(B) माना $S = 1 \cdot C_0^2 - 2 \cdot C_1^2 + 3 \cdot C_2^2 - 4 \cdot C_3^2 + \dots + 101 \cdot C_{100}^2$ है। गुणधर्म $C_r = C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,श्रेणी को उल्टे क्रम में लिखने पर: $S = 101 \cdot C_{100}^2 - 100 \cdot C_{99}^2 + 99 \cdot C_{98}^2 - \dots + 1 \cdot C_0^2$ प्राप्त होता है। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2S = 102(C_0^2 - C_1^2 + C_2^2 - C_3^2 + \dots + C_{100}^2)$ प्राप्त होता है। योग $C_0^2 - C_1^2 + C_2^2 - \dots + C_{100}^2$,$(1-x^2)^{100}$ के विस्तार में $x^{100}$ का गुणांक है,जो $(-1)^{50} \cdot ^{100}C_{50} = ^{100}C_{50}$ है। अतः,$2S = 102 \cdot ^{100}C_{50}$,जिसका सरल रूप $S = 51 \cdot ^{100}C_{50}$ है।

यदि $C_r = ^{100}C_r$ है,तो $1 \cdot C_0^2 - 2 \cdot C_1^2 + 3 \cdot C_2^2 - 4 \cdot C_3^2 + \dots + 101 \cdot C_{100}^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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