જો કોઈ અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો $3x - 4y - 1 = 0$ અને $4x - 3y - 6 = 0$ હોય,તો તે અતિવલયની મુખ્ય અક્ષ અને અનુબદ્ધ અક્ષ શું હશે?

સમીકરણ ${x^2} - 16xy - 11{y^2} - 12x + 6y + 21 = 0$ શું દર્શાવે છે?

ધારો કે $H_1: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ અને $H_2:-\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1$ એ બે અતિવલયો છે જેમની નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $15 \sqrt{2}$ અને $12 \sqrt{5}$ છે. ધારો કે તેમની ઉત્કેન્દ્રતા અનુક્રમે $e_1=\sqrt{\frac{5}{2}}$ અને $e_2$ છે. જો તેમની મુખ્ય અક્ષોની લંબાઈનો ગુણાકાર $100 \sqrt{10}$ હોય,તો $25 e_2^2$ ની કિંમત . . . . . . છે.

ધારો કે એક અતિવલય (hyperbola) ના નાભિઓ $(1, 14)$ અને $(1, -12)$ છે. જો તે $(1, 6)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તો તેના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો:

જો અતિવલય (hyperbola) ની અનુપ્રસ્થ (transverse) અને સંયુગ્મી (conjugate) અક્ષની લંબાઈ અનુક્રમે $8$ અને $6$ હોય,તો અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુના નાભિ અંતરોનો તફાવત કેટલો થશે?

ધારો કે અતિવલય $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નું એક નાભિ $(\sqrt{10}, 0)$ પર છે અને તેની અનુરૂપ નિયામિકા $x = \frac{9}{\sqrt{10}}$ છે. જો $e$ અને $l$ એ અનુક્રમે $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ હોય,તો $9(e^2 + l)$ ની કિંમત શોધો: