જો અતિવલય (hyperbola) ની અનુપ્રસ્થ (transverse) અને સંયુગ્મી (conjugate) અક્ષની લંબાઈ અનુક્રમે $8$ અને $6$ હોય,તો અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુના નાભિ અંતરોનો તફાવત કેટલો થશે?

$(0, \pm 3)$ નાભિ અને $(0, \pm \frac{\sqrt{11}}{2})$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

શંકુ $3x^2 - y^2 = 3$ ને લંબ રેખા $x + 3y = 2$ ના સ્પર્શકોનું સમીકરણ શું છે?

હાયપરબોલા $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ધ્યાનમાં લો જેનું એક નાભિ $P(-3,0)$ પર છે. જો તેના બીજા નાભિમાંથી પસાર થતું લેટસ રેક્ટમ $P$ પર કાટખૂણો બનાવે છે અને $a^2b^2 = \alpha\sqrt{2} - \beta$,જ્યાં $\alpha, \beta \in N$,તો $\alpha + \beta$ નું મૂલ્ય શોધો.

$(0, 1)$ બિંદુમાંથી અતિવલય $45x^2 - 4y^2 = 5$ પર દોરેલા સ્પર્શકો પૈકી એકનું સમીકરણ શોધો.

અતિવલય $5y^{2} - 9x^{2} = 36$ માટે નાભિઓ અને શિરોબિંદુઓના યામ,ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.