यदि दो वृत्तों x^2+y^2+2x+4y-3=0 और x^2+y^2+2 | vedclass

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Question

(B) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2+2x+4y-3=0$ और $S_2: x^2+y^2+2kx-2y-1=0$ हैं।$x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ से तुलना कर

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$4$

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(B) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2+2x+4y-3=0$ और $S_2: x^2+y^2+2kx-2y-1=0$ हैं।$x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ से तुलना करने पर:$g_1=1, f_1=2, c_1=-3$ और $g_2=k, f_2=-1, c_2=-1$.केंद्र $C_1(-1, -2)$ और $C_2(-k, 1)$ हैं,और त्रिज्याएँ $r_1=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ और $r_2=\sqrt{k^2+2}$ हैं।केंद्रों के बीच की दूरी $d^2 = (k-1)^2 + 9 = k^2-2k+10$.कोण $	heta$ के लिए $\cos 	heta = \frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}$.$\frac{k^2-2k+10-8-(k^2+2)}{2(2\sqrt{2})\sqrt{k^2+2}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \implies \frac{-2k}{4\sqrt{2}\sqrt{k^2+2}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.$\frac{-k}{\sqrt{2}\sqrt{k^2+2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \frac{k^2}{2(k^2+2)} = \frac{1}{3} \implies 3k^2 = 2k^2+4 \implies k^2=4$.

यदि दो वृत्तों $x^2+y^2+2x+4y-3=0$ और $x^2+y^2+2kx-2y-1=0$ के बीच के कोण का कोसाइन $\frac{1}{2\sqrt{3}}$ है,तो $k^2=$

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