यदि निम्नलिखित तीन रैखिक समीकरणों का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है, तो
$x+4ay+az=0$
$x+3by+bz=0$
$x+2cy+cz=0$

Question

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए, गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।सारणिक इस प्रकार है:$\left|\begin{array}{ccc}1 & 4a

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$a, b, c$ $HP$ में हैं

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(C) रैखिक समीकरणों के निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए, गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।सारणिक इस प्रकार है:$\left|\begin{array}{ccc}1 & 4a & a \ 1 & 3b & b \ 1 & 2c & c\end{array}ight|=0$प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:$1(3bc - 2bc) - 1(4ac - 2ac) + 1(4ab - 3ab) = 0$व्यंजक को सरल करने पर:$(bc) - (2ac) + (ab) = 0$$bc + ab = 2ac$दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $a, b, c 
eq 0$):$\frac{bc}{abc} + \frac{ab}{abc} = \frac{2ac}{abc}$$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$यह स्थिति दर्शाती है कि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $AP$ में हैं, जिसका अर्थ है कि $a, b, c$ $HP$ में हैं।

यदि निम्नलिखित तीन रैखिक समीकरणों का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है, तो
$x+4ay+az=0$
$x+3by+bz=0$
$x+2cy+cz=0$

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तीन बिंदुओं $P(\cos \alpha, \sin \beta)$, $Q(\sin \alpha, \cos \beta)$ और $R(0,0)$ पर विचार करें, जहाँ $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$ है। तो:

यदि घन समीकरण $\left| \begin{array}{ccc} 0 & a-x & b-x \\ -a-x & 0 & c-x \\ -b-x & -c-x & 0 \end{array} \right| = 0$ में $x$ का एक पुनरावृत्त मूल (repeated root) है,तो:

यदि $\omega$ इकाई का घनमूल है,तो $\left| \begin{array}{ccc} x + 1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & x + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & x + \omega \end{array} \right| = $

यदि $x = cy + bz$,$y = az + cx$,$z = bx + ay$ (जहाँ $x, y, z$ सभी शून्य नहीं हैं) का $x = 0, y = 0, z = 0$ के अलावा कोई अन्य हल है,तो $a, b$ और $c$ किस संबंध से जुड़े हैं?

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यदि निम्नलिखित तीन रैखिक समीकरणों का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है, तो$x+4ay+az=0$$x+3by+bz=0$$x+2cy+cz=0$

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तीन बिंदुओं $P(\cos \alpha, \sin \beta)$, $Q(\sin \alpha, \cos \beta)$ और $R(0,0)$ पर विचार करें, जहाँ $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$ है। तो:

यदि घन समीकरण $\left| \begin{array}{ccc} 0 & a-x & b-x \\ -a-x & 0 & c-x \\ -b-x & -c-x & 0 \end{array} \right| = 0$ में $x$ का एक पुनरावृत्त मूल (repeated root) है,तो:

यदि $\omega$ इकाई का घनमूल है,तो $\left| \begin{array}{ccc} x + 1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & x + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & x + \omega \end{array} \right| = $

यदि $x = cy + bz$,$y = az + cx$,$z = bx + ay$ (जहाँ $x, y, z$ सभी शून्य नहीं हैं) का $x = 0, y = 0, z = 0$ के अलावा कोई अन्य हल है,तो $a, b$ और $c$ किस संबंध से जुड़े हैं?

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यदि निम्नलिखित तीन रैखिक समीकरणों का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है, तो
$x+4ay+az=0$
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