$\triangle ABC$ માં,$\frac{a}{\tan A} + \frac{b}{\tan B} + \frac{c}{\tan C}$ ની કિંમત કેટલી થાય?

$\triangle ABC$ માં,$\sin A$ અને $\sin B$ એ સમીકરણ $c^2 x^2 - c(a+b)x + ab = 0$ નું સમાધાન કરે છે. તો:

$\Delta ABC$ માં સામાન્ય સંકેતો સાથે,$\left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right) \left( \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} \right) \left( \frac{1}{r_3} + \frac{1}{r_1} \right) = \frac{K R^3}{a^2 b^2 c^2}$ જ્યાં $K$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે એક ત્રિકોણ $ABC$ એ $2$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત છે. જો ખૂણા $A, B$ અને $C$ ના $3$ દ્વિભાજકોને લંબાવીને વર્તુળને અનુક્રમે $A_1, B_1$ અને $C_1$ માં છેદવામાં આવે,તો $\left[\frac{AA_1 \cos \frac{A}{2} + BB_1 \cos \frac{B}{2} + CC_1 \cos \frac{C}{2}}{\sin A + \sin B + \sin C}\right]^2$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $PQRS$ એ સમતલમાં એક ચતુષ્કોણ છે,જ્યાં $QR = 1$,$\angle PQR = \angle QRS = 70^{\circ}$,$\angle PQS = 15^{\circ}$ અને $\angle PRS = 40^{\circ}$ છે. જો $\angle RPS = \theta^{\circ}$,$PQ = \alpha$ અને $PS = \beta$ હોય,તો $4 \alpha \beta \sin \theta^{\circ}$ ની કિંમત ધરાવતા અંતરાલ(ઓ) કયા છે?
$(A)$ $(0, \sqrt{2})$
$(B)$ $(1, 2)$
$(C)$ $(\sqrt{2}, 3)$
$(D)$ $(2 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$

જો ત્રિકોણના ખૂણાઓ $A, B$ અને $C$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને જો $a, b$ અને $c$ એ અનુક્રમે $A, B$ અને $C$ ની સામેની બાજુઓની લંબાઈ દર્શાવતા હોય,તો પદાવલિ $\frac{a}{c} \sin 2C + \frac{c}{a} \sin 2A$ નું મૂલ્ય શું છે?