ધારો કે $a$,$b$ અને $c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ થાય,તો $(4b - 3c)^2 + (4a - 2c)^2 + (3a - 2b)^2$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a}=2 \hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=-\hat{i}+\hat{k}$,અને $\vec{c}=\beta \hat{j}-\hat{k}$,જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ પૂર્ણાંકો છે અને $\alpha \beta=-6$ છે. ધારો કે જે ક્રમયુક્ત જોડી $(\alpha, \beta)$ માટે વિકર્ણો $\vec{a}+\vec{b}$ અને $\vec{b}+\vec{c}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{21}}{2}$ હોય,તે $(\alpha_1, \beta_1)$ અને $(\alpha_2, \beta_2)$ છે. તો $\alpha_1^2+\beta_1^2-\alpha_2 \beta_2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે જેમાં $\overline{AB}=\bar{a}$,$\overline{AD}=\bar{b}$ અને $\overline{AC}=3\bar{a}+2\bar{b}$ છે. જો તેનું ક્ષેત્રફળ એ $AB$ અને $AD$ ને પાસપાસેની બાજુઓ તરીકે ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળના $\alpha$ ગણું હોય,તો $\alpha$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

ધારો કે $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ એ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો છે. $\triangle ABC$ નું સદિશ ક્ષેત્રફળ શું છે?

ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો છે જેથી $\vec{a} \times \vec{b} = 4\vec{c}$,$\vec{b} \times \vec{c} = 9\vec{a}$ અને $\vec{c} \times \vec{a} = \alpha\vec{b}$,જ્યાં $\alpha > 0$. જો $|\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}| = 36$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\overrightarrow{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{b} = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$,$\overrightarrow{c} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\overrightarrow{d}$ એક એવો સદિશ છે કે જેથી $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{d} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{d}$ અને $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d} = 4$ થાય. તો $|(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{d})|^2$ ની કિંમત . . . . . . થાય.