ધારો કે $K$ એ $x$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સમૂહ છે જ્યાં વિધેય $f(x) = \sin |x| - |x| + 2(x - \pi) \cos |x|$ વિકલનીય નથી. તો સમૂહ $K$ કોના બરાબર છે?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ અને $g: R \rightarrow R$ અનુક્રમે $f(x)=|x|+1$ અને $g(x)=x^2+1$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે. $h: R \rightarrow R$ ને $h(x)=\begin{cases} \max \{f(x), g(x)\} & \text{જો } x \leq 0 \\ \min \{f(x), g(x)\} & \text{જો } x > 0 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. $h(x)$ જે બિંદુઓ પર વિકલનીય નથી તેની સંખ્યા છે

ધારો કે $f(x) = x|x|$ અને $g(x) = \sin x$.
વિધાન-$1$: $gof$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે અને તેનું વિકલિત તે બિંદુએ સતત છે.
વિધાન-$2$: $gof$ એ $x=0$ આગળ બે વાર વિકલનીય છે.

ધારો કે $f$ એ $R$ થી $R$ પરનું વિકલનીય વિધેય છે,જેથી તમામ $x, y \in R$ માટે $|f(x) - f(y)| \le 2|x - y|^{\frac{3}{2}}$ થાય છે. જો $f(0) = 1$ હોય,તો $\int_{0}^{1} f^2(x) dx$ ની કિંમત શોધો.

વિધાન $(A)$: જો $f(x)$ એ $x=a$ આગળ સતત ન હોય,તો તે $x=a$ આગળ વિકલનીય નથી.
કારણ $(R)$: જો $f(x)$ કોઈ બિંદુએ વિકલનીય હોય,તો તે તે બિંદુએ સતત હોય છે.

જો $f(x) = \begin{cases} x \left(1 + \frac{1}{2} \sin (\log x^2) \right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ હોય,તો $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$ ની કિંમત શોધો.