ધારો કે f:[0,1] rightarrow [-1,1] અને g:[-1,1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $h(x) = g(f(x))$. આપણને આપેલ છે કે $h: [0,1] \rightarrow [0,2]$ વ્યાપ્ત છે. $h$ વ્યાપ્ત હોવાથી,$h$ નો વિસ્તાર તેના સહ-પ્રદેશ $[0,2]$ જેટલો

Vedclass · Accepted Answer

$f$ વ્યાપ્ત હોવું જોઈએ પણ એક-એક હોવું જરૂરી નથી

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $h(x) = g(f(x))$. આપણને આપેલ છે કે $h: [0,1] \rightarrow [0,2]$ વ્યાપ્ત છે. $h$ વ્યાપ્ત હોવાથી,$h$ નો વિસ્તાર તેના સહ-પ્રદેશ $[0,2]$ જેટલો થાય છે. $h(x) = g(f(x))$ હોવાથી,$h$ નો વિસ્તાર એ $g$ ના વિસ્તારનો ઉપગણ છે. આમ,$g$ નો વિસ્તાર $[0,2]$ સમાવવો જોઈએ. જોકે,$g$ નો સહ-પ્રદેશ $[0,2]$ છે,તેથી $g$ નો વિસ્તાર ચોક્કસપણે $[0,2]$ જ હોવો જોઈએ. આ સૂચવે છે કે $g$ વ્યાપ્ત છે. $g$ એક-એક આપેલ છે અને હવે તે વ્યાપ્ત સાબિત થયું છે,તેથી $g$ એ બાયજેક્ટિવ વિધેય છે. $h = g \circ f$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,$f$ નું વ્યાપ્ત હોવું અનિવાર્ય છે. જો $f$ વ્યાપ્ત ન હોય,તો $[-1,1]$ માં કોઈ એવો $y$ અસ્તિત્વ ધરાવે જે $f$ ના વિસ્તારમાં ન હોય. $g$ બાયજેક્ટિવ હોવાથી,$g(y)$ એ $g \circ f$ ના વિસ્તારમાં ન હોય,જે $h$ ની વ્યાપ્તતાનો વિરોધાભાસ કરે છે. તેથી,$f$ વ્યાપ્ત હોવું જ જોઈએ.

ધારો કે $f:[0,1] \rightarrow [-1,1]$ અને $g:[-1,1] \rightarrow [0,2]$ બે વિધેયો છે,જ્યાં $g$ એક-એક (injective) છે અને $g \circ f: [0,1] \rightarrow [0,2]$ વ્યાપ્ત (surjective) છે. તો,

Similar Questions

ધારો કે $f: R \to R$ એ $f(x) = x^3$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો $f$ એ . . . . . . છે.

જો $f: N \times N \rightarrow N$ એ $f(m, n) = mn$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f$ એ . . . . . . છે.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \frac{e^{|x|} - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે, તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module