मान लीजिए f:[0,1] rightarrow [-1,1] और g:[-1, | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $h(x) = g(f(x))$ है। हमें दिया गया है कि $h: [0,1] \rightarrow [0,2]$ आच्छादक है। चूँकि $h$ आच्छादक है,$h$ का परिसर उसके सह-प्रांत $[0,2

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$f$ को आच्छादक होना चाहिए लेकिन एकैकी होना आवश्यक नहीं है

Vedclass · Answer

(B) मान लीजिए $h(x) = g(f(x))$ है। हमें दिया गया है कि $h: [0,1] \rightarrow [0,2]$ आच्छादक है। चूँकि $h$ आच्छादक है,$h$ का परिसर उसके सह-प्रांत $[0,2]$ के बराबर है। चूँकि $h(x) = g(f(x))$,$h$ का परिसर $g$ के परिसर का एक उपसमुच्चय है। अतः,$g$ के परिसर में $[0,2]$ शामिल होना चाहिए। हालाँकि,$g$ का सह-प्रांत $[0,2]$ है,इसलिए $g$ का परिसर वास्तव में $[0,2]$ ही होना चाहिए। यह दर्शाता है कि $g$ आच्छादक है। चूँकि $g$ एकैकी दिया गया है और अब यह आच्छादक भी सिद्ध हो गया है,इसलिए $g$ एक बाइजेक्शन है। $h = g \circ f$ के आच्छादक होने के लिए,$f$ का आच्छादक होना अनिवार्य है। यदि $f$ आच्छादक नहीं होता,तो $[-1,1]$ में कोई ऐसा $y$ मौजूद होता जो $f$ के परिसर में नहीं होता। चूँकि $g$ एक बाइजेक्शन है,$g(y)$ का मान $g \circ f$ के परिसर में नहीं होता,जो $h$ की आच्छादकता का खंडन करता है। इसलिए,$f$ को आच्छादक होना ही चाहिए।

मान लीजिए $f:[0,1] \rightarrow [-1,1]$ और $g:[-1,1] \rightarrow [0,2]$ दो फलन हैं,जहाँ $g$ एकैकी (injective) है और $g \circ f: [0,1] \rightarrow [0,2]$ आच्छादक (surjective) है। तब,

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माना $A = \{x : x \in R, x \text{ एक धनात्मक पूर्णांक नहीं है}\}$। फलन $f: A \rightarrow R$ को $f(x) = \frac{2x}{x-1}$ द्वारा परिभाषित करें,तो $f$ है:

$f: R-\{1\} \rightarrow R-\{2\}$ के प्रतिचित्रण के लिए, जो $f(x)=\frac{2x}{x-1}$ द्वारा दिया गया है, निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

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यदि $R$ सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है,तो $f(x)=|x|$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R \rightarrow R$ है

सिद्ध कीजिए कि फलन $f : R \rightarrow \{ x \in R : -1 < x < 1 \}$ जो $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ द्वारा परिभाषित है,एकैकी और आच्छादक फलन है।

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