मान लीजिए $R$ सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{N}$ पर एक संबंध है जो $aRb \iff a, b^2$ को विभाजित करता है,द्वारा परिभाषित है। $R$ निम्नलिखित में से किन गुणों को संतुष्ट करता है?
$I.$ स्वतुल्यता
$II.$ सममितता
$III.$ संक्रामकता

सिद्ध कीजिए कि समतल में स्थित बिंदुओं के समुच्चय $A$ में संबंध $R = \{(P, Q) : \text{बिंदु } P \text{ की मूलबिंदु से दूरी, बिंदु } Q \text{ की मूलबिंदु से दूरी के समान है}\}$ एक तुल्यता संबंध है। आगे,सिद्ध कीजिए कि बिंदु $P \neq (0, 0)$ से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय मूलबिंदु को केंद्र मानकर खींचा गया एक वृत्त है जो $P$ से होकर गुजरता है।

समुच्चय $A$ पर परिभाषित संबंध $R$ प्रति-सममित (anti-symmetric) है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, a) \in R$ का तात्पर्य है:

मान लीजिए कि $R = \{ (3, 3), (6, 6), (9, 9), (12, 12), (6, 12), (3, 9), (3, 12), (3, 6) \}$ समुच्चय $A = \{ 3, 6, 9, 12 \}$ पर एक संबंध है। यह संबंध है

मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ है। मान लीजिए $M$,$S$ के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है। तब संबंध $R = \{(A, B) : A \cap B \neq \phi; A, B \in M\}$ है :

यदि $R$ समुच्चय $\{1, 2, 3, 4\}$ पर सबसे छोटा तुल्यता संबंध है,ताकि $\{(1, 2), (1, 3)\} \subset R$,तो $R$ में अवयवों की संख्या क्या है?