मान लीजिए XY केंद्र O वाले एक अर्धवृत्त का व् | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $R$ अर्धवृत्त की त्रिज्या है। मान लीजिए $\angle AOY = 	heta$ और $\angle BOY = 	heta$ है। चूंकि $AB \parallel XY$,बिंदु $A$ और $B$ $XY$

Vedclass · Accepted Answer

$\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $R$ अर्धवृत्त की त्रिज्या है। मान लीजिए $\angle AOY = 	heta$ और $\angle BOY = 	heta$ है। चूंकि $AB \parallel XY$,बिंदु $A$ और $B$ $XY$ के लंब समद्विभाजक के सापेक्ष सममित हैं। निर्देशांक $A = (R \cos 	heta, R \sin 	heta)$ और $B = (-R \cos 	heta, R \sin 	heta)$ के रूप में दर्शाए जा सकते हैं।$	riangle AOB$ की भुजाएँ $OA = R$,$OB = R$,और $AB = 2R \cos 	heta$ हैं।अर्ध-परिमाप $s = \frac{R + R + 2R \cos 	heta}{2} = R(1 + \cos 	heta)$ है।$	riangle AOB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊंचाई} = \frac{1}{2} 	imes (2R \cos 	heta) 	imes (R \sin 	heta) = R^2 \sin 	heta \cos 	heta$ है।अंतःत्रिज्या $r = \frac{	ext{क्षेत्रफल}}{s} = \frac{R^2 \sin 	heta \cos 	heta}{R(1 + \cos 	heta)} = R \frac{\sin 	heta \cos 	heta}{1 + \cos 	heta}$ है।$r$ को अधिकतम करने के लिए,$	heta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dr}{d	heta} = R \frac{(1 + \cos 	heta)(\cos^2 	heta - \sin^2 	heta) - (\sin 	heta \cos 	heta)(-\sin 	heta)}{(1 + \cos 	heta)^2} = 0$ प्राप्त होता है।इसे सरल करने पर $(1 + \cos 	heta)(2 \cos^2 	heta - 1) + \sin^2 	heta \cos 	heta = 0$ मिलता है।$\sin^2 	heta = 1 - \cos^2 	heta$ का उपयोग करने पर,$(1 + \cos 	heta)(2 \cos^2 	heta - 1) + (1 - \cos^2 	heta) \cos 	heta = 0$ प्राप्त होता है।$2 \cos^2 	heta - 1 + 2 \cos^3 	heta - \cos 	heta + \cos 	heta - \cos^3 	heta = 0$।$\cos^3 	heta + 2 \cos^2 	heta - 1 = 0$।गुणनखंड करने पर $(\cos 	heta + 1)(\cos^2 	heta + \cos 	heta - 1) = 0$ मिलता है।चूंकि $\cos 	heta 
eq -1$,इसलिए $\cos^2 	heta + \cos 	heta - 1 = 0$ है।$\cos 	heta$ के लिए हल करने पर,$\cos 	heta = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$ प्राप्त होता है। चूंकि $	heta$ न्यून कोण है,$\cos 	heta = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ है।अतः,$\angle BOY = 	heta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}ight)$।

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