ધારો કે f એ left[0, frac{pi}{2}right] પર વ્યા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે કે $f(x) + \int_0^x f(t) \sqrt{1 - (\ln f(t))^2} dt = e$. $x=0$ લેતા,$f(0) + 0 = e$,તેથી $f(0) = e$. લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ

Vedclass · Accepted Answer

$27$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે કે $f(x) + \int_0^x f(t) \sqrt{1 - (\ln f(t))^2} dt = e$. $x=0$ લેતા,$f(0) + 0 = e$,તેથી $f(0) = e$. લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $f'(x) + f(x) \sqrt{1 - (\ln f(x))^2} = 0$. ધારો કે $y = f(x)$,તો $\frac{dy}{dx} = -y \sqrt{1 - (\ln y)^2}$. ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\int \frac{dy}{y \sqrt{1 - (\ln y)^2}} = -\int dx$. ધારો કે $\ln y = t$,તો $\frac{1}{y} dy = dt$. $\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = -x + C$. $\sin^{-1}(t) = -x + C \Rightarrow \sin^{-1}(\ln f(x)) = -x + C$. $f(0) = e$ હોવાથી,$\sin^{-1}(\ln e) = -0 + C \Rightarrow \sin^{-1}(1) = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{2}$. આમ,$\sin^{-1}(\ln f(x)) = \frac{\pi}{2} - x$. $x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\sin^{-1}(\ln f(\frac{\pi}{6})) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$. તેથી,$\ln f(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. અંતે,$(6 \ln f(\frac{\pi}{6}))^2 = (6 	imes \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = (3\sqrt{3})^2 = 27$.

Similar Questions

વક્રના સ્પર્શકનો $x-$અંતઃખંડ એ સ્પર્શબિંદુના યામ (ordinate) જેટલો છે. બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module