मान लीजिए P(S),S = {1, 2, 3, ldots, 10} का घा | vedclass

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Question

(A) संबंध $R_1$ के लिए: शर्त $(A \cap B^c) \cup (B \cap A^c) = \varnothing$ सममित अंतर $A \Delta B = \varnothing$ की परिभाषा है,जिसका अर्थ है $A = B$।

Vedclass · Accepted Answer

$R_1$ और $R_2$ दोनों तुल्यता संबंध हैं

Vedclass · Answer

(A) संबंध $R_1$ के लिए: शर्त $(A \cap B^c) \cup (B \cap A^c) = \varnothing$ सममित अंतर $A \Delta B = \varnothing$ की परिभाषा है,जिसका अर्थ है $A = B$। चूंकि $A = B$ एक तुल्यता संबंध है (स्वतुल्य,सममित और संक्रामक),इसलिए $R_1$ एक तुल्यता संबंध है।संबंध $R_2$ के लिए: शर्त $A \cup B^c = B \cup A^c$ का विश्लेषण समुच्चय गुणों का उपयोग करके किया जा सकता है। $A \cup B^c = B \cup A^c \iff (A \cup B^c) \cap (A \cap B) = (B \cup A^c) \cap (A \cap B) \iff A = B$. वेन आरेख के क्षेत्रों का उपयोग करते हुए जहाँ $a, b, c, d$ अलग-अलग क्षेत्रों को दर्शाते हैं: $A = a \cup c$ और $B = b \cup c$। $A \cup B^c = (a \cup c) \cup (a \cup d) = a \cup c \cup d$। $B \cup A^c = (b \cup c) \cup (b \cup d) = b \cup c \cup d$। इन्हें बराबर करने पर $a \cup c \cup d = b \cup c \cup d$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = b$। चूंकि $a$ और $b$ क्रमशः $A$ और $B$ के लिए अद्वितीय क्षेत्र हैं,$a = b = \varnothing$ का अर्थ है $A = B$। इस प्रकार,$R_2$ भी एक तुल्यता संबंध है।अतः,$R_1$ और $R_2$ दोनों तुल्यता संबंध हैं।

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