मान लीजिए कि a, b, c तीन भिन्न धनात्मक वास्तव | vedclass

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Question

(A) दिए गए समीकरण $(2a)^{\ln a} = (bc)^{\ln b}$ और $b^{\ln 2} = a^{\ln c}$ हैं।पहले समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln a (\ln 2

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$1$

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(A) दिए गए समीकरण $(2a)^{\ln a} = (bc)^{\ln b}$ और $b^{\ln 2} = a^{\ln c}$ हैं।पहले समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln a (\ln 2 + \ln a) = \ln b (\ln b + \ln c)$.दूसरे समीकरण से: $\ln 2 \cdot \ln b = \ln c \cdot \ln a \implies \ln c = \frac{\ln 2 \cdot \ln b}{\ln a}$.पहले समीकरण में $\ln c$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $(\ln a)^2 + \ln a \ln 2 = (\ln b)^2 + \ln b \left( \frac{\ln 2 \cdot \ln b}{\ln a} ight)$.$(\ln a)^2 + \ln a \ln 2 = (\ln b)^2 \left( \frac{\ln a + \ln 2}{\ln a} ight)$.$(\ln a)^2 (\ln a + \ln 2) = (\ln b)^2 (\ln a + \ln 2)$.चूँकि $a, b, c$ भिन्न हैं,$\ln a + \ln 2 
eq 0$,इसलिए $(\ln a)^2 = (\ln b)^2$,जिसका अर्थ है $\ln a = -\ln b$ (क्योंकि $a 
eq b$ है)।अतः $b = 1/a$. दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(1/a)^{\ln 2} = a^{\ln c} \implies a^{-\ln 2} = a^{\ln c} \implies \ln c = -\ln 2 \implies c = 1/2$.पहले समीकरण में $b = 1/a$ और $c = 1/2$ प्रतिस्थापित करने पर: $(2a)^{\ln a} = (a/2)^{\ln(1/a)} = (a/2)^{-\ln a} = (2/a)^{\ln a}$.चूँकि $(2a)^{\ln a} = (2/a)^{\ln a}$,हमारे पास $2a = 2/a \implies a^2 = 1$ है। चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 1$ है। यदि $a=1$ है,तो $b=1$ होगा,जो इस तथ्य का खंडन करता है कि $a, b, c$ भिन्न हैं। प्रश्न का कथन गणितीय रूप से असंगत है।

मान लीजिए कि $a, b, c$ तीन भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,जैसे कि $(2a)^{\ln a} = (bc)^{\ln b}$ और $b^{\ln 2} = a^{\ln c}$ है। तो $6a + 5bc$ का मान $........$ है।

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