मान लीजिए x neq 1 के लिए g(x) = frac{(x-1)^n} | vedclass

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Question

(C) फलन $f(x) = |x-1|$ है। $x < 1$ के लिए,$f(x) = -(x-1) = -x+1$ होता है। $x=1$ पर बायां अवकलज $p = \frac{d}{dx}(-x+1) = -1$ है।दिया गया है कि $\lim_{

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$n=2, m=2$

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(C) फलन $f(x) = |x-1|$ है। $x दिया गया है कि $\lim_{x ightarrow 1^{+}} g(x) = p$,इसलिए $\lim_{x ightarrow 1^{+}} \frac{(x-1)^n}{\log \cos^m(x-1)} = -1$ है।मान लीजिए $h = x-1$ है। जैसे $x ightarrow 1^{+}$,वैसे ही $h ightarrow 0^{+}$। सीमा $\lim_{h ightarrow 0^{+}} \frac{h^n}{\log \cos^m h} = -1$ हो जाती है।$\log \cos^m h = m \log \cos h$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\lim_{h ightarrow 0^{+}} \frac{h^n}{m \log \cos h} = -1$ प्राप्त होता है।$L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करने पर,$\lim_{h ightarrow 0^{+}} \frac{n h^{n-1}}{m (\frac{-\sin h}{\cos h})} = \lim_{h ightarrow 0^{+}} \frac{n h^{n-1}}{-m 	an h} = -\frac{n}{m} \lim_{h ightarrow 0^{+}} \frac{h^{n-1}}{	an h} = -1$।इस सीमा के शून्य-तर अचर होने के लिए,$n-1 = 1$ होना चाहिए,अतः $n=2$। अब सीमा $-\frac{2}{m} \lim_{h ightarrow 0^{+}} \frac{h}{	an h} = -\frac{2}{m} (1) = -1$ है,जो दर्शाता है कि $m=2$ है।अतः,$n=2$ और $m=2$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $x \neq 1$ के लिए $g(x) = \frac{(x-1)^n}{\log \cos^m(x-1)}$ है,और मान लीजिए $p$,$x=1$ पर $|x-1|$ का बायां अवकलज (left-hand derivative) है। यदि $\lim_{x \rightarrow 1^{+}} g(x) = p$ है,तो:

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$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\pi^{x}-1}{\sqrt{1+x}-1}$

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\lim _{x \rightarrow \pi / 6} \frac{3 \sin x-\sqrt{3} \cos x}{6 x-\pi}$

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