ધારો કે r એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,જે x-અક્ષને | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) $x$-અક્ષને $(a, 0)$ પર સ્પર્શતા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - a)^2 + (y - r)^2 = r^2$ છે.તે $(4, 6)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$(4 -

Vedclass · Accepted Answer

$30$

Vedclass · Answer

(A) $x$-અક્ષને $(a, 0)$ પર સ્પર્શતા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - a)^2 + (y - r)^2 = r^2$ છે.તે $(4, 6)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$(4 - a)^2 + (6 - r)^2 = r^2$.આનું વિસ્તરણ કરતા,$16 - 8a + a^2 + 36 - 12r + r^2 = r^2$,જેનું સાદું રૂપ $a^2 - 8a - 12r + 52 = 0$ (સમીકરણ $1$) મળે છે.પરવલય $y^2 = 9x$ નો $(4, 6)$ આગળનો સ્પર્શક $y(6) = \frac{9}{2}(x + 4)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $12y = 9x + 36$ અથવા $3x - 4y + 12 = 0$ થાય છે.વર્તુળ આ રેખાને $(4, 6)$ આગળ સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(a, r)$ થી રેખા $3x - 4y + 12 = 0$ નું અંતર $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.તેથી,$\frac{|3a - 4r + 12|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = r$,જે $|3a - 4r + 12| = 5r$ આપે છે.આનો અર્થ $3a - 4r + 12 = 5r$ અથવા $3a - 4r + 12 = -5r$ થાય.કિસ્સો $1$: $3a - 9r + 12 = 0 \Rightarrow a = 3r - 4$. સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $(3r - 4)^2 - 8(3r - 4) - 12r + 52 = 0$.$9r^2 - 24r + 16 - 24r + 32 - 12r + 52 = 0$ $\Rightarrow 9r^2 - 60r + 100 = 0$ $\Rightarrow (3r - 10)^2 = 0$ $\Rightarrow r = \frac{10}{3}$.કિસ્સો $2$: $3a + r + 12 = 0 \Rightarrow a = \frac{-r - 12}{3}$. સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $(\frac{-r - 12}{3})^2 - 8(\frac{-r - 12}{3}) - 12r + 52 = 0$.$9$ વડે ગુણતા: $(r + 12)^2 + 24(r + 12) - 108r + 468 = 0$.$r^2 + 24r + 144 + 24r + 288 - 108r + 468 = 0$ $\Rightarrow r^2 - 60r + 900 = 0$ $\Rightarrow (r - 30)^2 = 0$ $\Rightarrow r = 30$.$a < 0$ હોવાથી,$r = 30$ માટે,$a = \frac{-30 - 12}{3} = -14 < 0$,જે માન્ય છે. તેથી,$r = 30$.

Similar Questions

પરવલય ${y^2 = 8x}$ ના શિરોબિંદુ અને નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે રેખા $x-y+1=0$ એ વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ ને બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે. જો $AB$ એ વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ નો વ્યાસ હોય,તો $g+f=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module