मान लीजिए R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $h(x) = f(x+1) - g(x+2)$.$h(x)$ में $x^3$ वाले पदों का विस्तार करने पर:$f(x+1) = a_1 + 10(x+1) + a_2(x+1)^2 + a_3(x+1)^3 + (x+1)^4$

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$-4$

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(C) दिया गया है कि $h(x) = f(x+1) - g(x+2)$.$h(x)$ में $x^3$ वाले पदों का विस्तार करने पर:$f(x+1) = a_1 + 10(x+1) + a_2(x+1)^2 + a_3(x+1)^3 + (x+1)^4$$f(x+1)$ में $x^3$ का गुणांक $a_3 + 4(1) = a_3 + 4$ है।$g(x+2) = b_1 + 3(x+2) + b_2(x+2)^2 + b_3(x+2)^3 + (x+2)^4$$g(x+2)$ में $x^3$ का गुणांक $b_3 + 4(2) = b_3 + 8$ है।अतः,$h(x)$ में $x^3$ का गुणांक $(a_3 + 4) - (b_3 + 8) = a_3 - b_3 - 4$ है।चूंकि प्रत्येक $x \in R$ के लिए $f(x) - g(x) 
eq 0$ है,इसलिए व्यंजक $f(x) - g(x) = (a_3 - b_3)x^3 + (a_2 - b_2)x^2 + 7x + (a_1 - b_1)$ का कोई वास्तविक मूल नहीं होना चाहिए।त्रिघात बहुपद का कोई वास्तविक मूल न होने के लिए $x^3$ का गुणांक $0$ होना चाहिए (अन्यथा,यह एक त्रिघात समीकरण होगा जिसका हमेशा कम से कम एक वास्तविक मूल होता है)।इसलिए,$a_3 - b_3 = 0$ है।इस मान को $h(x)$ में $x^3$ के गुणांक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $0 - 4 = -4$ प्राप्त होता है।

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