मान लीजिए $x \neq 0$ और $|x| < \frac{1}{2}$ है। यदि $f(x) = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \ldots$ है, तो $f^{-1}(x) =$

फलन $y = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}} + 1$ का प्रतिलोम $x =$ है।

यदि $f:[1, \infty) \rightarrow [1, \infty)$ को $f(x) = \frac{1+\sqrt{1+4 \log_2 x}}{2}$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $f^{-1}(3) =$

यदि $f(x) = 2 + |\sin^{-1} x|$ और $A = \{x \in R : f^{-1}(x) \text{ का अस्तित्व है} \}$ है,तो $A = $

मान लीजिए $f(x) = x^3 + 8x + 3$ है। अवकलज (derivative) का कौन सा गुण आपको यह निष्कर्ष निकालने में सक्षम बनाता है कि $f(x)$ का प्रतिलोम (inverse) मौजूद है?

मान लीजिए $f : (4, 6) \to (6, 8)$ एक फलन है जो $f(x) = x + [\frac{x}{2}]$ (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है) द्वारा परिभाषित है,तो $f^{-1}(x)$ का मान क्या होगा?