माना alpha, beta द्विघात समीकरण x^2+ax-b=0, b | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+ax-b=0$ के मूल हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार, $\alpha+\beta = -a$ और $\alpha\beta = -b$ है। वक्र

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$\frac{4}{c^2}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+ax-b=0$ के मूल हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार, $\alpha+\beta = -a$ और $\alpha\beta = -b$ है। वक्र $(\frac{x}{\alpha})^n + (\frac{y}{\beta})^n = 2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{n}{\alpha}(\frac{x}{\alpha})^{n-1} + \frac{n}{\beta}(\frac{y}{\beta})^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है। बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = -\frac{\beta}{\alpha}$ है। रेखा $x \cos 	heta + y \sin 	heta = c$ की ढाल $-\cot 	heta$ है। ढालों की तुलना करने पर: $-\cot 	heta = -\frac{\beta}{\alpha} \implies \cot 	heta = \frac{\beta}{\alpha}$। चूंकि रेखा बिंदु $(\alpha, \beta)$ से गुजरती है, इसलिए $\alpha \cos 	heta + \beta \sin 	heta = c$। $\cot 	heta = \frac{\beta}{\alpha}$ का उपयोग करते हुए, $\cos 	heta = \frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}$ और $\sin 	heta = \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}$ प्राप्त होता है। इन मानों को रेखा के समीकरण में रखने पर: $\alpha(\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}) + \beta(\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}) = c \implies \frac{2\alpha\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} = c$। हमें $(\frac{a}{b})^2 + \frac{2}{b} = (\frac{-(\alpha+\beta)}{-\alpha\beta})^2 + \frac{2}{-\alpha\beta} = \frac{(\alpha+\beta)^2}{(\alpha\beta)^2} - \frac{2}{\alpha\beta} = \frac{\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta-2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2} = \frac{\alpha^2+\beta^2}{(\alpha\beta)^2}$ का मान ज्ञात करना है। $\frac{2\alpha\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} = c$ से, $\alpha^2+\beta^2 = \frac{4\alpha^2\beta^2}{c^2}$ प्राप्त होता है। इस मान को व्यंजक में रखने पर: $\frac{4\alpha^2\beta^2/c^2}{(\alpha\beta)^2} = \frac{4}{c^2}$।

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