मान लीजिए कि alpha, alpha+2 in Z द्विघात समीक | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $\sum_{k=0}^{n-1} (x+k)(x+k+2) = 4n$ है।पदों का विस्तार करने पर: $\sum_{k=0}^{n-1} (x^2 + (2k+2)x + k^2+2k) = 4n$.यह सरल होकर $nx^

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$0$

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(A) दिया गया समीकरण $\sum_{k=0}^{n-1} (x+k)(x+k+2) = 4n$ है।पदों का विस्तार करने पर: $\sum_{k=0}^{n-1} (x^2 + (2k+2)x + k^2+2k) = 4n$.यह सरल होकर $nx^2 + 2x \sum_{k=0}^{n-1} (k+1) + \sum_{k=0}^{n-1} (k^2+2k) = 4n$ हो जाता है।योग के सूत्रों का उपयोग करने पर: $nx^2 + 2x \cdot \frac{n(n+1)}{2} + [\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 2 \frac{(n-1)n}{2}] = 4n$.$n$ से विभाजित करने पर: $x^2 + (n+1)x + \frac{(n-1)(2n-1) + 6(n-1) - 24}{6} = 0$.मूल $\alpha$ और $\alpha+2$ हैं, इसलिए मूलों का अंतर $2$ है। अतः, $\sqrt{D} = 2a = 2$.गणना करने पर, विकल्पों के अनुसार $n+\alpha$ का सही मान $0$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए कि $\alpha, \alpha+2 \in Z$ द्विघात समीकरण $x(x+2) + (x+1)(x+3) + (x+2)(x+4) + \dots + (x+n-1)(x+n+1) = 4n$ के मूल हैं, जहाँ $n \in N$ है। तो $n+\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

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