मान लीजिए z_1 और z_2 दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $z_1$ और $z_2$ समीकरण $z^2 + az + b = 0$ के मूल हैं,इसलिए $z_1 + z_2 = -a$ और $z_1 z_2 = b$ है।चूंकि $OA = OB$ और उनके बीच का कोण $

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$4$

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(D) दिया गया है कि $z_1$ और $z_2$ समीकरण $z^2 + az + b = 0$ के मूल हैं,इसलिए $z_1 + z_2 = -a$ और $z_1 z_2 = b$ है।चूंकि $OA = OB$ और उनके बीच का कोण $\alpha$ है,हम $z_2 = z_1 e^{i \alpha}$ लिख सकते हैं।अतः $\frac{z_2}{z_1} = e^{i \alpha}$ प्राप्त होता है।अब,$\frac{a^2}{b} = \frac{(z_1 + z_2)^2}{z_1 z_2} = \frac{z_1^2 + z_2^2 + 2z_1 z_2}{z_1 z_2} = \frac{z_1}{z_2} + \frac{z_2}{z_1} + 2$ है।$\frac{z_2}{z_1} = e^{i \alpha}$ रखने पर,$\frac{a^2}{b} = e^{-i \alpha} + e^{i \alpha} + 2 = 2 \cos \alpha + 2$ प्राप्त होता है।सर्वसमिका $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{a^2}{b} = 2(1 + \cos \alpha) = 2(2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}) = 4 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,$a^2 = 4b \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ है।इसे $a^2 = \lambda b \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ से तुलना करने पर,$\lambda = 4$ प्राप्त होता है।

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