माना एक दीर्घवृत्त E: frac{x^{2}}{a^{2}}+frac | vedclass

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Question

(D) दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ बिंदु $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{3}{2a^{2}} + \frac{

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$\frac{16}{3}$

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(D) दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ बिंदु $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1ight)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{3}{2a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1$। उत्केंद्रता $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{3}$,जिसका अर्थ है $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{2}{3}$ या $a^{2} = \frac{3}{2}b^{2}$। पहले समीकरण में $a^{2}$ का मान रखने पर: $\frac{3}{2(\frac{3}{2}b^{2})} + \frac{1}{b^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1$ $\Rightarrow b^{2} = 2$। अतः $a^{2} = \frac{3}{2}(2) = 3$। दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ है। नाभि $F(\alpha, 0)$ के लिए $\alpha = ae = \sqrt{3} 	imes \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$। अतः $F = (1, 0)$। केंद्र $(1, 0)$ और त्रिज्या $\frac{2}{\sqrt{3}}$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-1)^{2} + y^{2} = \frac{4}{3}$ है। दीर्घवृत्त के समीकरण से,$y^{2} = 2(1 - \frac{x^{2}}{3})$। वृत्त के समीकरण में $y^{2}$ का मान रखने पर: $(x-1)^{2} + 2 - \frac{2x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow x^{2} - 6x + 5 = 0$। हल करने पर $x=1$ प्राप्त होता है। $x=1$ के लिए $y^{2} = \frac{4}{3}$,इसलिए $y = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$। बिंदु $P(1, \frac{2}{\sqrt{3}})$ और $Q(1, -\frac{2}{\sqrt{3}})$ हैं। $PQ^{2} = (\frac{4}{\sqrt{3}})^{2} = \frac{16}{3}$।

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