मान लीजिए कि रेखाओं L_1: vec{r}=(hat{i}+2 hat | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $P$ रेखा $L_1$ पर एक बिंदु $(1+\lambda, 2-\lambda, 3+\lambda)$ है और $Q$ रेखा $L_2$ पर एक बिंदु $(4+\mu, 5+\mu, 6-\mu)$ है।सदिश $\vec{PQ

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$21$

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(A) मान लीजिए $P$ रेखा $L_1$ पर एक बिंदु $(1+\lambda, 2-\lambda, 3+\lambda)$ है और $Q$ रेखा $L_2$ पर एक बिंदु $(4+\mu, 5+\mu, 6-\mu)$ है।सदिश $\vec{PQ} = (4+\mu-(1+\lambda))\hat{i} + (5+\mu-(2-\lambda))\hat{j} + (6-\mu-(3+\lambda))\hat{k} = (3+\mu-\lambda)\hat{i} + (3+\mu+\lambda)\hat{j} + (3-\mu-\lambda)\hat{k}$.$L_1$ और $L_2$ के दिशा सदिश क्रमशः $\vec{v_1} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{v_2} = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ हैं।चूंकि $PQ$ न्यूनतम दूरी वाली रेखा है,यह $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत है। अतः,$\vec{PQ} \cdot \vec{v_1} = 0$ और $\vec{PQ} \cdot \vec{v_2} = 0$.$\vec{PQ} \cdot \vec{v_1} = (3+\mu-\lambda) - (3+\mu+\lambda) + (3-\mu-\lambda) = 3 - 3\lambda - \mu = 0 \implies 3\lambda + \mu = 3$.$\vec{PQ} \cdot \vec{v_2} = (3+\mu-\lambda) + (3+\mu+\lambda) - (3-\mu-\lambda) = 3 + 3\mu + \lambda = 0 \implies \lambda + 3\mu = -3$.इन समीकरणों को हल करने पर: $3(3\lambda + \mu) - (\lambda + 3\mu) = 3(3) - (-3) \implies 8\lambda = 12 \implies \lambda = \frac{3}{2}$.$\lambda = \frac{3}{2}$ को $3\lambda + \mu = 3$ में रखने पर,हमें $\frac{9}{2} + \mu = 3 \implies \mu = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।$P$ के निर्देशांक = $(1+\frac{3}{2}, 2-\frac{3}{2}, 3+\frac{3}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{1}{2}, \frac{9}{2})$.$Q$ के निर्देशांक = $(4-\frac{3}{2}, 5-\frac{3}{2}, 6+\frac{3}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{15}{2})$.मध्यबिंदु $(\alpha, \beta, \gamma) = (\frac{5/2+5/2}{2}, \frac{1/2+7/2}{2}, \frac{9/2+15/2}{2}) = (\frac{5}{2}, 2, 6)$.अतः,$2(\alpha+\beta+\gamma) = 2(\frac{5}{2} + 2 + 6) = 5 + 4 + 12 = 21$.

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यदि $(\alpha, \beta, \gamma)$ बिंदु $(-1, 2, -1)$ से बिंदुओं $(2, -1, 1)$ और $(1, 1, -2)$ को मिलाने वाली रेखा पर खींचे गए लंब का पाद है, तो $\alpha + \beta + \gamma =$

उन रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए जिनके सदिश समीकरण $\vec{r}=(1-t) \hat{i}+(t-2) \hat{j}+(3-2 t) \hat{k}$ और $\vec{r}=(s+1) \hat{i}+(2 s-1) \hat{j}-(2 s+1) \hat{k}$ हैं।

रेखाएँ $x = ay + b, z = cy + d$ और $x = a'y + b', z = c'y + d'$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,यदि

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