उन रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए | vedclass

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Question

(A) दी गई रेखाएं $\vec{r} = (1-t)\hat{i} + (t-2)\hat{j} + (3-2t)\hat{k}$ और $\vec{r} = (s+1)\hat{i} + (2s-1)\hat{j} - (2s+1)\hat{k}$ हैं।समीकरणों को $

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$\frac{8}{\sqrt{29}}$ इकाई

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(A) दी गई रेखाएं $\vec{r} = (1-t)\hat{i} + (t-2)\hat{j} + (3-2t)\hat{k}$ और $\vec{r} = (s+1)\hat{i} + (2s-1)\hat{j} - (2s+1)\hat{k}$ हैं।समीकरणों को $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ के रूप में लिखने पर:रेखा $1$: $\vec{r} = (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + t(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$यहाँ,$\vec{a_1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b_1} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.रेखा $2$: $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) + s(\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})$यहाँ,$\vec{a_2} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}) \cdot (\vec{a_2} - \vec{a_1})}{|\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}|} ight|$ सूत्र द्वारा दी जाती है।सबसे पहले,$\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}$ की गणना करें:$\vec{b_1} 	imes \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ -1 & 1 & -2 \ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 + 4) - \hat{j}(2 + 2) + \hat{k}(-2 - 1) = 2\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}$.परिमाण $|\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$.अगला,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 0\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$.अब,$(\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}) \cdot (\vec{a_2} - \vec{a_1}) = (2\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (0\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}) = (2)(0) + (-4)(1) + (-3)(-4) = 0 - 4 + 12 = 8$.अतः,$d = \left| \frac{8}{\sqrt{29}} ight| = \frac{8}{\sqrt{29}}$ इकाई।

उन रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए जिनके सदिश समीकरण $\vec{r}=(1-t) \hat{i}+(t-2) \hat{j}+(3-2 t) \hat{k}$ और $\vec{r}=(s+1) \hat{i}+(2 s-1) \hat{j}-(2 s+1) \hat{k}$ हैं।

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रेखाएँ $\frac{x - 1}{-1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{-2}$ और $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{-2}$ हैं

यदि दो रेखाओं के दिक्कोसाइन $l+m+n=0$ और $mn-2lm-2nl=0$ द्वारा दिए गए हैं,तो उन रेखाओं के बीच का न्यून कोण क्या है?

$A(2,3,4), B(4,5,7), C(2,-6,3), D(4,-4, k)$ चार बिंदु हैं। यदि रेखा $\overline{AB}$,$\overline{CD}$ के समांतर है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित रेखाओं के युग्म के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
$\frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ और $\frac{x-5}{4}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{8}$

यदि रेखाएँ $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2k}=\frac{z-3}{2}$ और $\frac{x-1}{3k}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-6}{-5}$ एक-दूसरे पर लंब हैं,तो $k$ का मान है

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