मान लीजिए कि x in [-frac{sqrt{3}}{2}, frac{1} | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $f(x) = (\sin^{-1}x)^{2} + (\cos^{-1}x)^{2}$.चूंकि $\cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x$, हमें प्राप्त होता है:$f(x) = (\sin^{-1}x)^

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$65$

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(B) मान लीजिए $f(x) = (\sin^{-1}x)^{2} + (\cos^{-1}x)^{2}$.चूंकि $\cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x$, हमें प्राप्त होता है:$f(x) = (\sin^{-1}x)^{2} + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x)^{2}$$f(x) = 2(\sin^{-1}x)^{2} - \pi \sin^{-1}x + \frac{\pi^{2}}{4}$पूर्ण वर्ग बनाने पर, $f(x) = 2(\sin^{-1}x - \frac{\pi}{4})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8}$.$x \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ के लिए, $\sin^{-1}x$ का परिसर $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}]$ है।$f(x)$ को अधिकतम करने के लिए, हम $\sin^{-1}x$ का वह मान चुनते हैं जो $\frac{\pi}{4}$ से सबसे दूर है, जो कि $-\frac{\pi}{3}$ है।अधिकतम मान $= 2(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8} = 2(-\frac{7\pi}{12})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8} = \frac{49\pi^{2}}{72} + \frac{9\pi^{2}}{72} = \frac{58\pi^{2}}{72} = \frac{29\pi^{2}}{36}$.अतः, $m = 29$ और $n = 36$ है। चूंकि $\gcd(29, 36) = 1$, इसलिए $m+n = 29 + 36 = 65$.

मान लीजिए कि $x \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ के लिए $(\sin^{-1}x)^{2} + (\cos^{-1}x)^{2}$ का अधिकतम मान $\frac{m}{n}\pi^{2}$ है, जहाँ $\gcd(m, n) = 1$ है। तो $m+n$ का मान ........... है।

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यदि $0 \leqslant \cos ^{-1} x \leqslant \pi$ और $\frac{-\pi}{2} \leqslant \sin ^{-1} x \leqslant \frac{\pi}{2}$ है,तो $x=\frac{1}{5}$ पर $\cos \left(2 \cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x\right)$ का मान है

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