$(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n}$ નો સહગુણક એ $(1+x)^{2n-1}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n}$ ના સહગુણક કરતા બમણો છે તેમ સાબિત કરો.

$(a+b)^{m}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $(T_{r+1})$ એ $T_{r+1} = {}^{m}C_{r} a^{m-r} b^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણ માટે,$x^{n}$ નો સહગુણક $r=n$ મૂકીને મેળવવામાં આવે છે:
સહગુણક $= {}^{2n}C_{n} = \frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$ ........... $(1)$
$(1+x)^{2n-1}$ ના વિસ્તરણ માટે,$x^{n}$ નો સહગુણક $r=n$ મૂકીને મેળવવામાં આવે છે:
સહગુણક $= {}^{2n-1}C_{n} = \frac{(2n-1)!}{n!(2n-1-n)!} = \frac{(2n-1)!}{n!(n-1)!}$
અંશ અને છેદને $2n$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2n \cdot (2n-1)!}{2n \cdot n!(n-1)!} = \frac{(2n)!}{2 \cdot n! \cdot n!} = \frac{1}{2} \left[ \frac{(2n)!}{(n!)^2} \right]$ ........... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા:
${}^{2n}C_{n} = 2 \cdot {}^{2n-1}C_{n}$
આમ,$(1+x)^{2n}$ માં $x^{n}$ નો સહગુણક એ $(1+x)^{2n-1}$ માં $x^{n}$ ના સહગુણક કરતા બમણો છે.