સાબિત કરો કે વિધેય $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 4x$,$x \in R$ એ $R$ પર વધતું વિધેય છે.

(N/A) વિધેય $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 4x$ એ $R$ પર વધતું વિધેય છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3} - 3x^{2} + 4x) = 3x^{2} - 6x + 4$
હવે,આપણે $f'(x)$ ના પદને પૂર્ણવર્ગ બનાવીને ફરીથી લખીએ:
$f'(x) = 3(x^{2} - 2x) + 4$
$f'(x) = 3(x^{2} - 2x + 1 - 1) + 4$
$f'(x) = 3((x - 1)^{2} - 1) + 4$
$f'(x) = 3(x - 1)^{2} - 3 + 4$
$f'(x) = 3(x - 1)^{2} + 1$
દરેક $x \in R$ માટે $(x - 1)^{2} \geq 0$ હોવાથી,$3(x - 1)^{2} \geq 0$ થાય.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,આપણને $3(x - 1)^{2} + 1 \geq 1$ મળે છે.
આમ,દરેક $x \in R$ માટે $f'(x) > 0$ છે.
વિકલિત $f'(x)$ એ પ્રદેશ $R$ ના તમામ $x$ માટે $0$ કરતા મોટું હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $R$ પર વધતું વિધેય છે.