श्रेणी cot^{-1} 3 + cot^{-1} 7 + cot^{-1} 13 | vedclass

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Question

(D) श्रेणी का $r$-वां पद $T_r = \cot^{-1}(r^2 + r + 1)$ है।सर्वसमिका $\cot^{-1} x = 	an^{-1} \left( \frac{1}{x} ight)$ का उपयोग करने पर,$T_r = 	an

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उपरोक्त सभी

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(D) श्रेणी का $r$-वां पद $T_r = \cot^{-1}(r^2 + r + 1)$ है।सर्वसमिका $\cot^{-1} x = 	an^{-1} \left( \frac{1}{x} ight)$ का उपयोग करने पर,$T_r = 	an^{-1} \left( \frac{1}{r^2 + r + 1} ight)$ प्राप्त होता है।हर को $1 + r(r+1)$ के रूप में लिखने पर,$T_r = 	an^{-1} \left( \frac{(r+1) - r}{1 + r(r+1)} ight)$ होता है।सूत्र $	an^{-1} x - 	an^{-1} y = 	an^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} ight)$ का उपयोग करने पर,$T_r = 	an^{-1}(r+1) - 	an^{-1} r$ प्राप्त होता है।प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{r=1}^{n} (	an^{-1}(r+1) - 	an^{-1} r)$ है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = (	an^{-1} 2 - 	an^{-1} 1) + (	an^{-1} 3 - 	an^{-1} 2) + \dots + (	an^{-1}(n+1) - 	an^{-1} n)$।अतः,$S_n = 	an^{-1}(n+1) - 	an^{-1} 1$।$	an^{-1} x - 	an^{-1} y = 	an^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} ight)$ सूत्र के अनुसार,$S_n = 	an^{-1} \left( \frac{n+1-1}{1+(n+1)(1)} ight) = 	an^{-1} \left( \frac{n}{n+2} ight)$।चूंकि $	an^{-1} x = \cot^{-1} (1/x)$,इसलिए $S_n = \cot^{-1} \left( \frac{n+2}{n} ight)$।अतः,सभी विकल्प सही हैं।

श्रेणी $\cot^{-1} 3 + \cot^{-1} 7 + \cot^{-1} 13 + \cot^{-1} 21 + \dots$ के प्रथम $n$ पदों का योग क्या है?

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