समतल 2x - y + 2z - 1 = 0 के अभिलंब और X-अक्ष | vedclass

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Question

(A) समतल का समीकरण $2x - y + 2z - 1 = 0$ दिया गया है। इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है। $X$-अक्ष की दिशा का सदिश $\

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$\cos^{-1} \frac{2}{3}$

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(A) समतल का समीकरण $2x - y + 2z - 1 = 0$ दिया गया है। इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है। $X$-अक्ष की दिशा का सदिश $\vec{a} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ है। अभिलंब सदिश $\vec{n}$ और $X$-अक्ष के बीच का कोण $	heta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos 	heta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{a}|}{|\vec{n}| |\vec{a}|}$ है। अदिश गुणन करने पर: $\vec{n} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (-1)(0) + (2)(0) = 2$. परिमाण ज्ञात करने पर: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ और $|\vec{a}| = 1$. अतः, $\cos 	heta = \frac{2}{3 	imes 1} = \frac{2}{3}$. इस प्रकार, $	heta = \cos^{-1} \frac{2}{3}$.

समतल $2x - y + 2z - 1 = 0$ के अभिलंब और $X$-अक्ष के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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समतल $\vec{r} \cdot (6 \hat{i} - 3 \hat{j} - 2 \hat{k}) + 1 = 0$ के लंबवत इकाई सदिश के दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।

$(1, 1, 1)$ और $(1, -1, -1)$ से गुजरने वाले और $2x - y + z + 5 = 0$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए:

मूल बिंदु से गुजरने वाले और समतलों $x+2y-z=1$ तथा $3x-4y+z=5$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मूल बिंदु से समतल $x+y+3z-4=0$ पर खींचे गए लंब का पाद (foot) है

$(1, 0, 0)$ और $(0, 1, 0)$ से गुजरने वाले उस समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात ज्ञात कीजिए जो समतल $x + y = 3$ के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाता है।

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