रेखा $\frac{x+1}{-3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{1}$ और बिंदु $(0,7,-7)$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण है

दिखाइए कि समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 19$ और $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3 = 0$ परस्पर लंबवत हैं। इन दो समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि रेखाएँ $L_1 : \frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 2}{2k} = \frac{z - 3}{2}$ और $L_2 : \frac{x - 1}{3k} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z - 6}{-5}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं, तो $k$ के उस मान के लिए जो इस शर्त को संतुष्ट करता है, रेखा $L_1$ को समाहित करने वाले और रेखा $L_2$ के समानांतर समतल का समीकरण है

$r=(\hat{i}+\hat{j})+t(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})$ और $r=(\hat{i}+\hat{j})+s(-\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})$ रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का सदिश समीकरण क्या है?

मान लीजिए कि $L$ समतलों $2x+3y+z=1$ और $x+3y+2z=1$ की प्रतिच्छेदन रेखा है। यदि $L$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\alpha$ कोण बनाती है,तो $\cos \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $L$ एक रेखा है जो $2 \hat{i}+3 \hat{j}+8 \hat{k}$ और $\hat{i}+6 \hat{j}+4 \hat{k}$ बिंदुओं से होकर गुजरती है। मान लीजिए $P$ एक समतल है जो $-5 \hat{i}+19 \hat{j}-14 \hat{k}$ से होकर गुजरता है और $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ तथा $\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ सदिशों के समानांतर है। यदि $L$ समतल $P$ को बिंदु $A$ पर मिलता है, तो $A$ का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।