ત્રણ બિંદુઓ $(1, 1, 1)$,$(1, -1, 1)$ અને $(-7, -3, -5)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

સમતલ $x-2y+2z+4=0$ ને સમાંતર અને બિંદુ $(1, 2, 3)$ થી $1$ એકમ અંતરે આવેલા સમતલોના સમીકરણો $.....$ છે.

જો સમતલો $x-2y+3z-5=0$ અને $x+\alpha y+2z+7=0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\cos^{-1}\left(\frac{1}{14}\right)$ હોય,તો $\alpha$ ના મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત શોધો.

$xyz$ અવકાશમાં સમીકરણો $|x| = p, |y| = p, |z| = p$ શું દર્શાવે છે?

ધારો કે $R^3$ એ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશ દર્શાવે છે. બે બિંદુઓ $P=(1, 2, 3)$ અને $Q=(4, 2, 7)$ લો. ધારો કે $\operatorname{dist}(X, Y)$ એ $R^3$ માં બે બિંદુઓ $X$ અને $Y$ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવે છે. ધારો કે
$S=\{X \in R^3: (\operatorname{dist}(X, P))^2 - (\operatorname{dist}(X, Q))^2 = 50\}$
$T=\{Y \in R^3: (\operatorname{dist}(Y, Q))^2 - (\operatorname{dist}(Y, P))^2 = 50\}$
તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ એક એવો ત્રિકોણ છે જેનું ક્ષેત્રફળ $1$ છે અને તેના બધા શિરોબિંદુઓ $S$ માંથી છે.
$(B)$ $T$ માં બે અલગ બિંદુઓ $L$ અને $M$ છે જેથી રેખાખંડ $LM$ પરનું દરેક બિંદુ પણ $T$ માં હોય.
$(C)$ $48$ પરિમિતિ ધરાવતા અનંત લંબચોરસ છે,જેના બે શિરોબિંદુઓ $S$ માંથી અને બાકીના બે શિરોબિંદુઓ $T$ માંથી છે.
$(D)$ $48$ પરિમિતિ ધરાવતો એક ચોરસ છે,જેના બે શિરોબિંદુઓ $S$ માંથી અને બાકીના બે શિરોબિંદુઓ $T$ માંથી છે.

જો $M$ એ બિંદુ $P(1, 2, -1)$ માંથી બિંદુ $A(3, -2, 1)$ માંથી પસાર થતા અને સદિશ $4\hat{i} + 7\hat{j} - 4\hat{k}$ ને લંબ સમતલ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ હોય,તો $PM$ ની લંબાઈ,યોગ્ય એકમોમાં,કેટલી થાય?