વિકલ સમીકરણ $(2x + 3y^2) dy = y dx$ $(y > 0)$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

$(0,1)$ બિંદુમાંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ શોધો. જો વક્રના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ તે બિંદુના $x$ યામ (abscissa) અને $x$ યામ તથા $y$ યામ (ordinate) ના ગુણાકારના સરવાળા જેટલો હોય.

ધારો કે $y = y_1(x)$ અને $y = y_2(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y + 7$ ના ઉકેલ વક્રો છે,જેમાં પ્રારંભિક શરતો અનુક્રમે $y_1(0) = 0$ અને $y_2(0) = 1$ છે. તો વક્રો $y = y_1(x)$ અને $y = y_2(x)$ ક્યાં છેદે છે?

વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો $\tan x$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (integrating factor) હોય, તો $P$ શું હોઈ શકે?

જો $y=y(x)$ એ $\frac{dy}{dx}=\frac{x-y \cos x}{1+\sin x}$ નું ઉકેલ હોય અને $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi^2}{8}$ હોય,તો $y(\pi)=$