किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या और उसके व्युत | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) माना कि धनात्मक वास्तविक संख्या $x$ है,जहाँ $x > 0$ है।हम फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना चाहते हैं।क्रांतिक बिंदु (critica

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(B) माना कि धनात्मक वास्तविक संख्या $x$ है,जहाँ $x > 0$ है।हम फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना चाहते हैं।क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$.$f'(x) = 0$ रखने पर $1 - \frac{1}{x^2} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$।चूँकि $x$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है,इसलिए हम $x = 1$ लेते हैं।अब,न्यूनतम मान की पुष्टि करने के लिए हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं:$f''(x) = \frac{2}{x^3}$.$x = 1$ पर,$f''(1) = 2 > 0$,जो पुष्टि करता है कि $f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।न्यूनतम मान $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ है।वैकल्पिक रूप से,समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका द्वारा,$x > 0$ के लिए,$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \ge \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 1$,इसलिए $x + \frac{1}{x} \ge 2$।

किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या और उसके व्युत्क्रम के योग का न्यूनतम मान क्या है?

Similar Questions

अंतराल $[1, e]$ पर $f(x) = x^2 \log x$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

यदि $4+3x-7x^2$ अपना अधिकतम मान $M$, $x=\alpha$ पर प्राप्त करता है और $5x^2-2x+1$ अपना न्यूनतम मान $m$, $x=\beta$ पर प्राप्त करता है, तो $\frac{28(M-\alpha)}{5(m+\beta)}=$

${x^{1/x}}$ का अधिकतम मान क्या है?

$64 \text{ m}$ लंबी एक तार को मोड़कर एक आयत बनाया जाता है ताकि उसका क्षेत्रफल अधिकतम हो। अधिकतम क्षेत्रफल क्या है ($\text{ m}^2$ में)?

$f(x) = -(x-1)^{2} + 10$ द्वारा दिए गए फलन के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module