रेखाएँ frac{x-1}{3}=frac{y+1}{2}=frac{z-1}{5} | vedclass

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Question

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,हम उनके बीच की न्यूनतम दूरी ($S$.$D$.) की गणना करते हैं। रेखाएँ $\vec{r_1} = (1, -1, 1) + \lam

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एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

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(B) यह जाँचने के लिए कि क्या रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,हम उनके बीच की न्यूनतम दूरी ($S$.$D$.) की गणना करते हैं। रेखाएँ $\vec{r_1} = (1, -1, 1) + \lambda(3, 2, 5)$ और $\vec{r_2} = (-2, 1, -1) + \mu(4, 3, -2)$ द्वारा दी गई हैं।न्यूनतम दूरी का सूत्र $S.D. = \left| \frac{(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} 	imes \vec{b_2})}{|\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}|} ight|$ है।यहाँ,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-2-1, 1-(-1), -1-1) = (-3, 2, -2)$.सदिश गुणनफल $\vec{b_1} 	imes \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 3 & 2 & 5 \ 4 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-15) - \hat{j}(-6-20) + \hat{k}(9-8) = -19\hat{i} + 26\hat{j} + 1\hat{k}$.अब,$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}) = (-3)(-19) + (2)(26) + (-2)(1) = 57 + 52 - 2 = 107$.चूँकि न्यूनतम दूरी $\frac{107}{\sqrt{(-19)^2 + 26^2 + 1^2}} = \frac{107}{\sqrt{361 + 676 + 1}} = \frac{107}{\sqrt{1038}} 
eq 0$ है,इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

रेखाएँ $\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{5}$ और $\frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{-2}$:

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रेखाओं $\vec{r}=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $\vec{r}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए। ($\text{इकाई}$ में)

वे रेखाएँ जिनकी दिक्कोज्याएँ (direction cosines) समीकरणों $al + bm + cn = 0$ और $fmn + gnl + hlm = 0$ को संतुष्ट करती हैं,परस्पर लंबवत होंगी यदि:

दो रेखाएँ $L_1: x=5, \frac{y}{3-\alpha}=\frac{z}{-2}$ और $L_2: x=\alpha, \frac{y}{-1}=\frac{z}{2-\alpha}$ समतलीय हैं। तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

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