વર્તુળો $x^2+y^2-x=0$ અને $x^2+y^2+x=0$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા કેટલી છે?

વર્તુળનું સમીકરણ શોધો જે વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2-10x-4y+19=0$ ને બિંદુ $(2,3)$ પર આંતરિક રીતે સ્પર્શે છે અને તેની ત્રિજ્યા વર્તુળ $S=0$ ની ત્રિજ્યા કરતા અડધી છે.

બિંદુ $(2,8)$ માંથી પસાર થતું,રેખાઓ $4x-3y-24=0$ અને $4x+3y-42=0$ ને સ્પર્શતું અને જેના કેન્દ્રનો $x$-યામ $8$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

$x$-અક્ષને સમાંતર અને વર્તુળ $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ ને સ્પર્શતી રેખાઓની જોડનું સમીકરણ શોધો.

$y=0$,$y=x$ અને $2x+3y=10$ રેખાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર શોધો.

એક $\triangle ABC$ માં,$BC$ પર એક બિંદુ $D$ એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યું છે કે જેથી $BD:DC = 2:5$ થાય. ધારો કે $P$ એ $\triangle ABC$ ના પરિવર્ત પરનું એક બિંદુ છે જેથી $\angle PDB = \angle BAC$ થાય. તો $PD:PC$ શું છે?