વાસ્તવિક સંખ્યાઓની જોડી $(x, y)$ ની સંખ્યા શોધો જેથી $x = x^2 + y^2$ અને $y = 2xy$ થાય.

ધારો કે $p, q$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. જો $\alpha$ એ $x^{2}+3 p^{2} x+5 q^{2}=0$ નું બીજ હોય, $\beta$ એ $x^{2}+9 p^{2} x+15 q^{2}=0$ નું બીજ હોય અને $0 < \alpha < \beta$ હોય, તો સમીકરણ $x^{2}+6 p^{2} x+10 q^{2}=0$ નું બીજ $\gamma$ હંમેશા નીચેનામાંથી કઈ શરતનું પાલન કરે છે?

$f(x)$ એક દ્વિઘાત પદાવલિ છે જેથી જ્યારે $x \in \left(-\infty, -\frac{5}{3}\right) \cup (3, \infty)$ હોય ત્યારે $f(x)$ ઋણ છે અને જ્યારે $x \in \left(-\frac{5}{3}, 3\right)$ હોય ત્યારે ધન છે. $g(x)$ બીજી એક દ્વિઘાત પદાવલિ છે જેથી જ્યારે $x \in \left(3, \frac{9}{2}\right)$ હોય ત્યારે $g(x)$ ઋણ છે અને જ્યારે $x \in \mathbb{R} - \left[3, \frac{9}{2}\right]$ હોય ત્યારે ધન છે. તો,$[0, 5]$ માં $f(x)g(x)$ ની નિશાની શું હશે?

જો $\alpha, \beta$ એ $x^2+p x+q=0$ ના વાસ્તવિક બીજ હોય અને $\alpha^4, \beta^4$ એ $x^2-r x+s=0$ ના બીજ હોય,તો સમીકરણ $x^2-4 q x+2 q^2-r=0$ ને હંમેશા

ધારો કે $\lambda \in R$ અને સમીકરણ $E$ એ $|x|^2 - 2|x| + |\lambda - 3| = 0$ છે. તો ગણ $S = \{x + \lambda : x \text{ એ } E \text{ નો પૂર્ણાંક ઉકેલ છે}\}$ માં સૌથી મોટો ઘટક $..........$ છે.

જો $\tan \alpha$ એ અસમતા $4x^2 - 16x + 15 < 0$ નો પૂર્ણાંક ઉકેલ હોય અને $\cos \beta$ એ પ્રથમ ચરણના દ્વિભાજકનો ઢાળ હોય,તો $\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta)$ ની કિંમત શોધો.