જે સંખ્યા તેના ધન વર્ગમૂળ કરતા $12$ જેટલી વધારે હોય તે સંખ્યા કઈ છે?

ધારો કે $A, G$ અને $H$ એ બે ભિન્ન ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમાંતર મધ્યક,ગુણોત્તર મધ્યક અને હરાત્મક મધ્યક છે. જો $\alpha$ એ સમીકરણ $A(G-H) x^2 + G(H-A) x + H(A-G) = 0$ ના બે બીજમાંનું નાનું બીજ હોય,તો:

ધારો કે $a, b, c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,અને દરેક સમીકરણ $x^2+2ax+b^2=0$ અને $x^2+2bx+c^2=0$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો છે. તો,સમીકરણ $x^2+2cx+a^2=0$ ને

ગણ $\{0, 1, 2, 4\}$ માંથી સહગુણકો $a, b, c$ $(a \neq b \neq c)$ પસંદ કરીને બનાવી શકાય તેવા અસમાન વાસ્તવિક બીજ ધરાવતા ભિન્ન દ્વિઘાત સમીકરણો $ax^2 + bx + c = 0$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

જો સમીકરણ $x^2+2ax+b=0$ ના બીજ વાસ્તવિક,ભિન્ન અને વધુમાં વધુ $2m$ જેટલા તફાવત ધરાવતા હોય,તો $b$ એ કયા અંતરાલમાં હશે?

ધારો કે $a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0$ એવા છે કે સમીકરણ $a x^{2}-2 b x+5=0$ નું પુનરાવર્તિત બીજ $\alpha$ છે,જે સમીકરણ $x^{2}-2 b x-10=0$ નું પણ એક બીજ છે. જો $\beta$ એ આ સમીકરણનું બીજું બીજ હોય,તો $\alpha^{2}+\beta^{2}$ ની કિંમત શોધો.