समुच्चय $\{x, y\}$ से $\{x, y\}$ तक एक संबंध $R$ के सममित (symmetric) और संक्रामक (transitive) होने की प्रायिकता क्या है?

यदि समुच्चय $A$ और $B$ को $A = \{(x, y) : y = e^x, x \in R\}$ और $B = \{(x, y) : y = x, x \in R\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,तो:

$\theta \in [0, \pi]$ के लिए,मान लीजिए $f(\theta) = \sin(\cos \theta)$ और $g(\theta) = \cos(\sin \theta)$ है। मान लीजिए $a = \max_{0 \leq \theta \leq \pi} f(\theta)$,$b = \min_{0 \leq \theta \leq \pi} f(\theta)$,$c = \max_{0 \leq \theta \leq \pi} g(\theta)$,और $d = \min_{0 \leq \theta \leq \pi} g(\theta)$ है। $a, b, c, d$ द्वारा संतुष्ट सही असमिकाएँ हैं:

मान लीजिए कि फलन $f(x) = x^2 + x + \sin x - \cos x + \log(1 + |x|)$ अंतराल $[0, 1]$ पर परिभाषित है। अंतराल $[-1, 1]$ पर $f(x)$ का विषम विस्तार (odd extension) क्या है?

मान लीजिए $g(x) = ||x + 2| - 3|$ है। यदि $a$ सापेक्ष निम्निष्ठ (relative minima) की संख्या को दर्शाता है,$b$ सापेक्ष उच्चिष्ठ (relative maxima) की संख्या को दर्शाता है,और $c$ $g(x)$ के शून्यकों का गुणनफल दर्शाता है,तो $(a + 2b - c)$ का मान क्या है?

मान लीजिए $N$ धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय है। सभी $n \in N$ के लिए,मान लीजिए $f_n = (n+1)^{1/3} - n^{1/3}$ और $A = \{n \in N : f_{n+1} < \frac{1}{3(n+1)^{2/3}} < f_n\}$ है। तो,