વર્તુળ $C_1$ ની ત્રિજ્યા એ બીજા વર્તુળ $C_2$ ની ત્રિજ્યા કરતા ત્રણ ગણી છે. $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રો અનુક્રમે $(1, 2)$ અને $(3, -2)$ છે. જો તેઓ એકબીજાને લંબછેદી હોય,તો $r$ ત્રિજ્યા અને $(1, -2)$ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે વર્તુળો $C_1: (x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 = r_1^2$ અને $C_2: (x-8)^2 + (y-\frac{15}{2})^2 = r_2^2$ એકબીજાને બિંદુ $(6,6)$ પર બહારથી સ્પર્શે છે. જો બિંદુ $(6,6)$ એ વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રોને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે,તો $(\alpha+\beta) + 4(r_1^2 + r_2^2)$ ની કિંમત શોધો.

એક રેખા $l$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=61$ ને $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં મળે છે. જો $P(-5, 6)$ એવું બિંદુ હોય કે જેથી $PA=PB=10$ થાય,તો રેખા $l$ નું સમીકરણ શોધો.

જો $\alpha \neq -4$ અને $(2, \alpha)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2-4x+8y+6=0$ ની જીવાનું મધ્યબિંદુ હોય,તો જીવાના $y$-અંતઃખંડની કિંમતો કયા અંતરાલમાં આવે છે?

કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $\lambda \neq 1$ માટે,$A(1, \lambda)$,$B(\lambda, 1)$ અને $C(\lambda, \lambda)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર કયું છે?

$5 \text{ units}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વર્તુળો એકબીજાને $(1, 2)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. જો તેમના સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $4x + 3y = 10$ હોય,અને $C_{1}(\alpha, \beta)$ તથા $C_{2}(\gamma, \delta)$,$C_{1} \neq C_{2}$ તેમના કેન્દ્રો હોય,તો $|(\alpha + \beta)(\gamma + \delta)|$ ની કિંમત .... થાય.